Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC
（1）证明：A₁C⊥平面BED；
（2）求二面角A₁-DE-B的余弦值．

Answer

（1）以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，由向量法能证明A1C⊥平面BED．
（2）由，，得到平面A1DE的法向量，同理得平面BDE的法向量为，由向量法能求出二面角A1-DE-B的余弦值．
【解析】
（1）如图，以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A1（2，0，4），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，2，1）
，，，
∵，
，
∴，，
∴A1C⊥平面BED
（2）∵，，
设平面A1DE的法向量为，
由及，
得-2x+2y-3z=0，-2x-4z=0，
取
同理得平面BDE的法向量为，
∴cos＜＞===-，
所以二面角A1-DE-B的余弦值为．