Question

选修4-1：平面几何
如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AB=6，BC=4，求AE．

Answer

（1）在两个三角形中，证明两个三角形全等，找出三角形全等的条件，根据同弧所对的圆周角相等，根据所给的边长相等，由边角边确定两个三角形是全等三角形．
（2）根据角的等量代换得到一个三角形中两个角相等，得到等腰三角形，得到BE=4，可以证明△ABE与△DEC相似，得到对应边成比例，设出要求的边长，得到关于边长的方程，解方程即可．
（1）证明：在△ABE和△ACD中，
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD
又∠BAE=∠EDC
∵BD∥MN
∴∠EDC=∠DCN
∵直线是圆的切线，
∴∠DCN=∠CAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△ABE≌△ACD
（2）【解析】
∵∠EBC=∠BCM∠BCM=∠BDC
∴∠EBC=∠BDC=∠BACBC=CD=4
又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB
∴BC=BE=4
设AE=x，易证△ABE∽△DEC
∴
∴DE=
又AE•EC=BE•ED   EC=6-x
∴4×
∴x=
即要求的AE的长是