Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer

（Ⅰ）先证明BD⊥AD、BD⊥PD，可得BD⊥平面PAD，再证明PA⊥BD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面PAB的法向量、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角A-PB-C的余弦值．
（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得
从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以BD⊥PD
因为AD∩PD=D，所以BD⊥平面PAD
因为PA⊂平面PAD，所以PA⊥BD；
（Ⅱ）【解析】
如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，
则A（1，0，0），，，P（0，0，1）．
∴，，=（-1，0，0）
设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则
即
因此可取n=
设平面PBC的法向量为=（x′，y′，z′），则，即
∴可取=（0，-1，）
∴         
故二面角A-PB-C的余弦值为