Question

如图，已知AB⊥平面BCE，CD∥ab，△BCE是正三角形，AB=BC=2CD．
（Ⅰ）在线段BE上是否存在一点F，使CF∥平面ADE？
（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ABE；
（Ⅲ）求二面角A-DE-B的正切值．

Answer

（I）取BE的中点F、AE的中点G，连接GD，GD，CF，由，△BCE是正三角形，AB=BC=2CD，结合三角形中位线性质，我们可得四边形CFGD是平行四边形，则CD∥GD，根据线面平行的判定定理，即可得到结论．
（II）由CF⊥BF，CF⊥AB，根据线面垂直判定定理可得CF⊥平面ABE，结合（I）中CF∥DG，可得DG⊥平面ABE，结合面面垂直的判定定理，可得平面ABE⊥平面ADE；
（III）过G作GM⊥DE，连接BM，我们可以得到∠BMG为二面角A-DE-B的平面角，解三角形BMG即可求出二面角A-DE-B的正切值．
【解析】
（Ⅰ）当F为BE的中点时，CF∥平面ADE…（1分）
证明：取BE的中点F、AE的中点G，连接GD，GD，CF
∴GF=AB，GF∥AB
又∵DC=AB，CD∥AB
∴CD∥GF，CD=GF
∴CFGD是平行四边形…（3分）
∴CF∥GD
∴CF∥平面ADE…（4分）
（Ⅱ）∵CF⊥BF，CF⊥AB
∴CF⊥平面ABE
∵CF∥DG
∴DG⊥平面ABE…（6分）
∵DG⊂平面ABE
∴平面ABE⊥平面ADE…（7分）
（Ⅲ）∵AB=BE
∴AE⊥BG
∴BG⊥平面ADE
过G作GM⊥DE，连接BM，则BM⊥DE
则∠BMG为二面角A-DE-B的平面角…（9分）
设AB=BC=2CD=2，则
BG=，GE=
在Rt△DCE中，CD=1，CE=2
∴DE=
又DG=CF=
由DE•GM=DG•EG得GM=…（11分）
∴tan∠BMG==
∴面角A-DE-B的正切值…（12分）