Question

设
（1）若f（x）在上存在单调递增区间，求a的取值范围．
（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为，求f（x）在该区间上的最大值．

Answer

（1）利用函数递增，导函数大于0恒成立，求出导函数的最大值，使最大值大于0．
（2）求出导函数的根，判断出根左右两边的导函数的符号，求出端点值的大小，求出最小值，列出方程求出a，求出最大值．
【解析】
（1）f′（x）=-x2+x+2a
f（x）在存在单调递增区间
∴f′（x）＞0在有解
∵f′（x）=-x2+x+2a对称轴为
∴递减
∴
解得．

（2）当0＜a＜2时，△＞0；
f′（x）=0得到两个根为；（舍）
∵
∴时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0
当x=1时，f（1）=2a+；当x=4时，f（4）=8a＜f（1）
当x=4时最小∴=解得a=1
所以当x=时最大为