Question

已知a＞0，函数．
（1）若函数f（x）在x=1处的切线与直线y-3x=0平行，求a的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）在（1）的条件下，若对任意x∈[1，2]，f（x）-b²-6b≥0恒成立，求实数b的取值组成的集合．

Answer

（1），由已知f'（1）=3，能求出a的值．
（2）由，根据a的取值范围进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调递增区间．
（3）当时，，由该函数在上单调递增，知在区间[1，2]上f（x）的最小值只能在x=1处取到，由此能求出实数b的取值组成的集合．
【解析】
（1），
由已知f'（1）=3，即2a2-a=3，2a2-a-3=0，
解得或a=-1．…（2分）
又因为a＞0，所以．…（3分）
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（4分）
，
①当2a＞a+1，即a＞1时，
由f'（x）＞0得x＞2a或0＜x＜a+1，
因此函数f（x）的单调增区间是（0，a+1）和（2a，+∞）．
②当2a＜a+1，即0＜a＜1时，
由f'（x）＞0得x＞a+1或0＜x＜2a，
因此函数f（x）的单调增区间是（0，2a）和（a+1，+∞）．
③当2a=a+1，即a=1时f'（x）≥0恒成立（只在x=2a处等于0），
所以函数在定义域（0，+∞）上是增函数．…（7分）
综上：①当a＞1时，函数f（x）的单调增区间是（0，a+1）和（2a，+∞）；
②当0＜a＜1时，函数f（x）的单调增区间是（0，2a）和（a+1，+∞）；
③当a=1时，函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）．…（8分）
（3）当时，，
由（2）知该函数在上单调递增，
因此在区间[1，2]上f（x）的最小值只能在x=1处取到．…（10分）
又，
若要保证对任意x∈[1，2]，f（x）-b2-6b≥0恒成立，
应该有-5≥b2+6b，即b2+6b+5≤0，解得-5≤b≤-1，
因此实数b的取值组成的集合是{b|-5≤b≤-1}．…（12分）