Question

对大于或等于2的自然数m的3次方幂有如下分解方式：2³=3+5，3³=7+9+11，4³=13+15+17+19，则
（1）8³的分解中最小的数是    ；
（2）按以上规律分解，第n个式子可以表示表示为（n+1）³=    ．

Answer

（1）注意观察各个数分解时的特点，不难发现：当底数是2时，可以分解成两个连续的奇数之和；当底数是3时，可以分解成三个连续的奇数之和．则当底数是4时，可分解成4个连续的奇数之和．可设83可连续分成2n+1，2n+3，2n+5，…之和，再相加求解n．
（2）按以上规律分解，第n个式子可以表示为（n+1）3=（n2+n+1）+（n2+n+3）+…+（n2+3n+1）．
【解析】
（1）由分析可设83=（2n+1）+（2n+3）+（2n+5）+…共8项，
83=16n+82
求得n=28，2n+1=57．
即在83的分解中，最小数是57．
（2）注意观察各个数分解时的特点，不难发现：当底数是2时，可以分解成两个连续的奇数之和；当底数是3时，可以分解成三个连续的奇数之和．
按以上规律分解，第n个式子的第一个和式是n（n+1）+1，一共有n+1项．
∴第n个式子可以表示为：
（n+1）3=（n2+n+1）+（n2+n+3）+…+（n2+3n+1）
故答案为：57，（n2+n+1）+（n2+n+3）+…+（n2+3n+1）．