Question

某学校餐厅为了保证每天供应1000名学生用餐，每星期一都提供有A、B两种菜可供学生选择（每个学生都将从二种中选一种），经调查，凡是在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20%改选B，而选B菜的，下周星期一则有30%改选A．用a_n、b_n分别表示在第n个星期一选A、B菜的人数（a₁、b₁表示本周星期一选A菜人数），若a₁=200．
（1）试以a_n表示a_n+1；
（2）证明：{a_n}的通项公式是；
（3）试问从第几个星期一开始，选A人数超过选B的人数？

Answer

（1）根据在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20%改选B，而选B菜的，下周星期一则有30%改选A，结合an+bn=1000，即可以an表示an+1；
（2）确定{an-600}可以看成是首项为-400，公比为的等比数列，即可证得结论；
（3）由an+bn=1000，an＞bn得an＞500，结合（2）的结论，即可求出结论．
（1）【解析】
由题可知，∵在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20%改选B，而选B菜的，下周星期一则有30%改选A，
∴an+1=an•（1-0.2）+0.3•bn，
又an+bn=1000，所以整理得：…（4分）
（2）证明：∵a1=200，且
∴
即{an-600}可以看成是首项为-400，公比为的等比数列．
∴…（9分）
（3）【解析】
由an+bn=1000，an＞bn得an＞500
又，∴，即 n＞3
答：从第4个星期一开始，选A人数超过选B人数．…（13分）