Question

如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，∠=90°，B、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD=3DC，△ABC的周长为12．若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D两点．
（1）求双曲线E的方程；
（ 2）若一过点O（m，0）（m为非零常数）的直线与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且，问在x轴上是否存在定点G，使？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设双曲线E的方程为，由B（-c，0），D（a，0），C（c，0）．BD=3DC，得c+a=3（c-a），由此能求出双曲线E的方程．
（2）设在x轴上存在定点G（t，0），使．设直线l的方程为x-m=ky，M（x1，y1），N（x2，y2）．由，得y1+λy2=0．由此能推导出在x轴上存在定点，使．
（本小题满分13分）
【解析】
（1）设双曲线E的方程为，
则B（-c，0），D（a，0），C（c，0）．
由BD=3DC，得c+a=3（c-a），即c=2a．
∴…（3分）
解之得a=1，∴．
∴双曲线E的方程为．…（5分）
（2）设在x轴上存在定点G（t，0），使．
设直线l的方程为x-m=ky，M（x1，y1），N（x2，y2）．
由，得y1+λy2=0．
即①…（6分）
∵，，
∴⇔x1-t=λ（x2-t）．
即ky1+m-t=λ（ky2+m-t）．②…（8分）
把①代入②，得2ky1y2+（m-t）（y1+y2）=0③…（10分）
把x-m=ky代入，并整理得（3k2-1）y2+6kmy+3（m2-1）=0，
其中3k2-1≠0且△＞0，即且3k2+m2＞1．
．…（11分）
代入③，得，
化简得 kmt=k．
当时，上式恒成立．
因此，在x轴上存在定点，使．…（13分）