Question

已知函数f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）图象的对称轴方程和单调递减区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-f（-x），求函数g（x）在区间[，]上的最小值和最大值．

Answer

通过二倍角公式以及两角差的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，
（1）通过正弦函数的对称轴直接求函数f（x）图象的对称轴方程，利用正弦函数的单调减区间求出函数的单调递减区间；
（2）利用函数g（x）=f（x）-f（-x），求出函数g（x）的表达式，求出2x-的范围，然后求解函数在区间[，]上的最小值和最大值．
【解析】
f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1=sin2ωx-cos2ωx=sin（2ωx-）．
由于函数f（x）的最小正周期为T==π，故ω=1，即函数f（x）=sin（2x-）．
（1）令2x-=kπ+（k∈Z），得x=+（k∈Z），
即为函数f（x）图象的对称轴方程．
令+2kπ≤2x-≤+2kπ（k∈Z），得+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），
即函数f（x）的单调递减区间是[+kπ，+kπ]（k∈Z）．
（2）g（x）=f（x）-f（-x）=sin（2x-）-sin[2（-x）-]=2sin（2x-），
由于x∈[，]，则0≤2x-≤，
故当2x-=即x=时函数g（x）取得最大值2，当2x-=即x=时函数g（x）取得最小值-2．