Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，F₁、F₂分别为其左、右焦点，P在椭圆上任意一点，且的最大值为1，最小值为-2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A为椭圆C的右顶点，直线l是与椭圆交于M、N两点的任意一条直线，若AM⊥AN，证明直线l过定点．

Answer

（1）设椭圆方程为，p（x，y）为椭圆上任意一点，，由，知=．由此能求出椭圆方程．
（2）①若直线l不垂直于x轴，设该直线方程为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），由得x2+4（k2x2+2kmx+m2）=4，由此能求出过定点（）．②若直线l垂直于x轴，设l与x轴交于点（x，0），由椭圆的对称性知△MNA为等腰Rt△，，解得此时直线l也过定点（）．由此知，直线l恒过定点（）．
【解析】
（1）设椭圆方程为，p（x，y）为椭圆上任意一点，
∴，，
∴，
∵，
∴=．
∵0≤x2≤a2，∴，∴，∴，∴a2=4，
∴椭圆方程为．
（2）①若直线l不垂直于x轴，设该直线方程为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），
由得x2+4（k2x2+2kmx+m2）=4，
化简，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，∴，
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=．
∵AM⊥AN，∴，
∴y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，
∴．整理，得12k2+16km+5m2=0，
∴或，
当k=-时，l：y=-过定点（2，0），不满足题意．
当时，过定点（）．
②若直线l垂直于x轴，设l与x轴交于点（x，0），由椭圆的对称性知△MNA为等腰Rt△，
∴，解得或2（舍），即此时直线l也过定点（）．
由①②知，直线l恒过定点（）．