Question

设，对X_n的任意非空子集A，定义f（A）为A中的最大元素，当A取遍X_n的所有非空子集时，对应的f（A）的和为S_n，则S_n=    ．

Answer

由题意得对M的任意非空子集A一共有2n-1个：在所有非空子集中每个元素出现2n-1次可以推出有2n-1个子集含n，有2n-2个子集不含n含n-1，有2n-3子集不含n，n-1，含n-2…有2k-1个子集不含n，n-1，n-2…k-1，而含k，进而利用错位相减法求出其和．
【解析】
由题意得：在所有非空子集中每个元素出现2n-1次．
故有2n-1个子集含n，有2n-2个子集不含n含n-1，有2n-3子集不含n，n-1，含n-2…有2k-1个子集不含n，n-1，n-2…k-1，而含有k．
∵定义f（A）为A中的最大元素，
∴Sn=2n-1×n+2n-2×（n-1）+…+21×2+1
Sn=1+21×2+22×3+23×4+…2n-1×n①
又2Sn=2+22×2+23×3+24×4+…2n×n…②错位相减，
∴①-②可得-Sn=1+21+22+23+…+2n-1-2n×n
∴Sn=（n-1）2n+1
∴S3=（3-1）×23+1=17．
故答案为：（n-1）2n+1．