Question

已知函数f（x）=x²+2x+alnx（a∈R）．当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围（ ）
A．（-∞，1）
B．（-∞，2）
C．（-∞，1]
D．（-∞，2]

Answer

不等式f（2t-1）≥2f（t）-3可化为2t2-4t+2≥alnt2-aln（2t-1），即2t2-alnt2≥2（2t-1）-aln（2t-1），令h（x）=2x-alnx（x≥1），要使上式成立，只需要h（x）=2x-alnx（x≥1）是增函数即可，从而可求实数a的取值范围．
【解析】
∵f（x）=x2+2x+alnx（a∈R）．
当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，
∴2t2-4t+2≥alnt2-aln（2t-1）
∴2t2-alnt2≥2（2t-1）-aln（2t-1）
令h（x）=2x-alnx（x≥1），则问题可化为h（t2）≥h（2t-1）
∵t≥1，∴t2≥2t-1
要使上式成立，只需要h（x）=2x-alnx（x≥1）是增函数即可
即g′（x）=2-≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≤2x在[1，+∞）上恒成立，故a≤2
∴实数a的取值范围是（-∞，2]．
故选D．