Question

已知椭C：+=1（a＞b＞0）的焦点为F₁，F₂，P是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，且△PF₁F₂的周长为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线的l是圆O：x²+y²=上动点P（x，y）（x-y≠0）处的切线，l与椭圆C交于不同的两点Q，R，证明：∠QOR的大小为定值．

Answer

（Ⅰ）根据以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，可得b=c，利用△PF1F2的周长为4，可得a+c=，从而可求椭圆的几何量，进而可得椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线的l方程与椭圆方程联立，记Q（x1，y1），R（x2，y2），利用韦达定理，确定x1x2+y1y2=0，即可证得结论．
（Ⅰ）【解析】
因为以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，所以b=c，可得a=c，
又因为△PF1F2的周长为4，所以a+c=，所以c=，
所以a=2，b=，所以所求椭圆C的方程为．       …（5分）
（Ⅱ）证明：直线的l方程为，且x2+y2=，记Q（x1，y1），R（x2，y2），
联立方程，消去y得（）x2-x+=0，
∴x1+x2=，x1x2=，…（8分）
∴=，…（10分）
∴x1x2+y1y2=+=0
∴∠QOR=90°为定值．                                            …（13分）