Question

（理）设函数f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积．已知函数y=sinnx在上的面积为，则函数y=cos3x+1在上的面积为    ．

Answer

将y=cos3x+1化成y=sin（3x+）+1，令t=x+，则y=sin3t+1．t∈[，π]．函数y=sinnx与函数y=sin3t类比，可以得出函数y=sin3t在[0，]上的面积为，在[0，]上的面积为在[0，]上的面积的一半，等于．再结合图象，准确地利用已知数据表示出阴影面积并计算即可．
【解析】
y=cos3x+1=sin（3x+）+1，令t=x+，则y=sin3t+1．t∈[，π]
在函数y=sinnx中，令n=3，得出函数y=sin3x在[0，]上的面积为．在[0，]上的面积为在[0，]上的面积的一半，等于．

函数y=cos3t+1图象由y=sin3t图象向上平移一个1个单位得到．
阴影部分面积为
故答案为：．