Question

如图，五面体A-BCC₁B₁中，AB₁=4，底面ABC是正三角形，AB=2，四边形BCC₁B₁是矩形，二面角A-BC-C₁为直二面角，D为AC的中点．
（1）证明：AB₁∥平面BDC₁；
（2）求二面角C-BC₁-D的余弦值．

Answer

（1）连接B1C交BC1于O，连接DO，由三角形的中位线性质可得  DO∥AB1 ，从而证明AB1∥平面BDC1 ．
（2）建立空间直角坐标系B-xyz如图所示，分别求出平面CBC1与BC1D的一个法向量的坐标，代入向量夹角公式，即可求出二面角C-BC1-D的余弦值．
【解析】
（1）证明：连接B1C交BC1于O，连接DO，
∵四边形BCC1B1是矩形，
∴O为B1C中点又D为AC中点，从而DO∥AB1 ．
∵AB1⊄平面BDC1，DO⊂平面BDC1，
∴AB1∥平面BDC1 ．
•
（2）建立空间直角坐标系B-xyz如图所示，
则 ，C（0，2，0），，B（0，0，0），
所以
设为平面BDC1的法向量，
则有
∴可得平面BDC1的一个法向量为，
而平面BCC1的法向量为，
所以，
所以二面角C-BC1-D的余弦值，