Question

如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若EF²=FA•FB，证明：EF∥CD．

Answer

（I）根据圆内接四边形的性质，可得∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，从而△EDC∽△EBA，所以有，利用比例的性质可得，得到；
（II）根据题意中的比例中项，可得，结合公共角可得△FAE∽△FEB，所以∠FEA=∠EBF，再由（I）的结论∠EDC=∠EBF，利用等量代换可得∠FEA=∠EDC，内错角相等，所以EF∥CD．
【解析】
（Ⅰ）∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B
∴△EDC∽△EBA，可得，
∴，即
∴
（Ⅱ）∵EF2=FA•FB，
∴，
又∵∠EFA=∠BFE，
∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF，
又∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠EDC=∠EBF，
∴∠FEA=∠EDC，
∴EF∥CD．