Question

已知椭圆C：的右焦点为F₁（1，0），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及左顶点P的坐标；
（Ⅱ）设过点F₁的直线交椭圆C于A，B两点，若△PAB的面积为，求直线AB的方程．

Answer

（Ⅰ）利用椭圆的右焦点为F1（1，0），离心率为，建立方程，结合b2=a2-c2，即可求得椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程代入椭圆方程，利用韦达定理面结合△PAB的面积为，即可求直线AB的方程．
【解析】
（Ⅰ）由题意可知：c=1，，所以a=2，所以b2=a2-c2=3．
所以椭圆C的标准方程为，左顶点P的坐标是（-2，0）．…（4分）
（Ⅱ）根据题意可设直线AB的方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．
由可得：（3m2+4）y2+6my-9=0．
所以△=36m2+36（3m2+4）＞0，y1+y2=-，y1y2=-．…（7分）
所以△PAB的面积S==．…（10分）
因为△PAB的面积为，所以=．
令t=，则，解得t1=（舍），t2=2．
所以m=±．
所以直线AB的方程为x+y-1=0或x-y-1=0．…（13分）