Question

已知函数
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）解不等式．
（3）若不等式对任意n∈N^*都成立，求a的最大值．

Answer

（1）利用导数即可求出其单调区间；
（2）通过对x讨论，再利用（1）的结论即可；
（3）通过分离参数，通过换元求导，再利用（1）的结论即可得出．
【解析】
（1），定义域{x|x＞0}．
∵，
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）对当x≥1时，原不等式变为①
由（1）结论，x≥1时，f（x）≤f（1）=0，即①成立
当0＜x≤1时，原不等式变为，
即②
由（1）结论0＜x≤1时，f（x）≥f（1）=0，即②成立
综上得，所求不等式的解集是{x|x＞0}
（3）结论：a的最大值为．
证明：∵n∈N*，
∴，
∵，
∴，取，则x∈（0，1]，
∴，
设，
则，∴g（x）在x∈（0，1]上单调递减，
∴当x=1时，．
∴a的最大值为．