Question

在等差数列{a_n}中，a₄s₄=-14，s₅-a₅=-14，其中s_n是数列{a_n}的前n项和，曲线c_n的方程是，直线l的方程是y=x+3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）判断c_n与 l 的位置关系；
（3）当直线l 与曲线c_n相交于不同的两点A_n，B_n时，令M_n=（|a_n|+4）|A_nB_n|，求M_n的最小值．

Answer

（1）利用等差数列{an}中，a4S4=-14，S5-a5=-14，可求首项与公差，从而可求求数列{an}的通项公式；
（2）将曲线Cn与l的方程联立，利用判别式可求解；
（3）利用（2）的结论，表达出Mn=（|an|+4）|AnBn|，再求Mn的最小值．
【解析】
（1）由题意可得S4=s5-a5=-14，故a4S4=-14a4=-14，即a4=1，
设数列的公差为d，则，
解得，故an=a1+（n-1）d=3n-11；
（2）联立方程，消掉y并整理得（|an|+4）x2+6|an|x+5|an|=0，
由题意知△=16（|an|2-5|an|）＞0，即|an|＞5，
∴3n-11＞5或3n-11＜-5，即n＞或n＜2，
即n≥6或n=1时，直线l与曲线Cn相交于不同的两点．
（3）由（2）当n≥6或n=1时，直线l与曲线Cn相交于不同的两点．
Mn=（|an|+4）•|AnBn|=（|an+4|）
==，
∴当n=6时，Mn的最小值为