Question

已知函数g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），a+b+c=0，且f（0）•f（1）＞0，设x₁，x₂是方程f（x）=0的两个根，则|x₁-x₂|的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

由题意得：f（x）=3ax2+2bx+c，x1，x2是方程f（x）=0的两个根，由韦达定理得，x1+x2=，x1x2=，于是求
=，又a+b+c=0，从而有=•+（）+①，又f（0）•f（1）＞0，可求得-2＜＜-1，代入①即可求得的范围，从而得到选项．
【解析】
由题意得：f（x）=3ax2+2bx+c，
∵x1，x2是方程f（x）=0的两个根，故x1+x2=，x1x2=，
∴=-4x1•x2=，
又a+b+c=0，
∴c=-a-b代入上式，
∴===•+（）+①，
又∵f（0）•f（1）＞0，
∴（a+b）（2a+b）＜0，即2a2+3ab+b2＜0，
∵a≠0，两边同除以a2得：
+3+2＜0；
∴-2＜＜-1，代入①得∈[，）
∴|x1-x2|∈[，）．
故选A．