Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，{b_n}为等差数列且各项均为正数，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求．

Answer

（1）把n=1代入an+1=2Sn+1，并根据S1=a1进行化简得到a2=3a1，当n大于等于2时，表示出an+1-an，根据Sn-Sn-1=an变形，可得出an+1=3an，进而确定出数列{an}是首项a1=1，公比为3的等比数列，表示出此等比数列的通项公式即可；
（2）设出等差数列{bn}的公差为d，由已知b1+b2+b3=15，利用等差数列的性质化简，可得出b2的值，再由a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用等比数列的通项公式化简得到关于d的方程，求出方程的解得到d的值，进而求出b1的值，利用等差数列的求和公式表示出Tn，利用拆项法得到=（-），
列举出Tn的各项，抵消合并后即可得到所求式子的值．
【解析】
（1）a2=2S1+1=3=3a1，
当n≥2时，an+1-an=（2Sn+1）-（2Sn-1+1）=2an，（3分）
∴an+1=3an，即，
∴数列{an}是首项a1=1，公比为3的等比数列，（4分）
从而得：；（6分）
（2）设数列{bn}的公差为d（d＞0），
∵T3=15，∴b2=5，
依题意a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，
则有，
又a2=3，b1=b2+d=5-d，b3=b2+d=5+d，
∴64=（5-d+1）（5+d+9），
解得：d=2或d=-10（舍去），（8分）
∵b1=5-d=5-2=3，
∴，（10分）
∵=（-），
则
=
=．（13分）