Question

已知四边形ABCD满足AD∥BC，，E是BC的中点，将△BAE沿着AE翻折成△B₁AE，使面B₁AE⊥面AECD，F为B₁D的中点．
（Ⅰ）求四棱B₁-AECD的体积；
（Ⅱ）证明：B₁E∥面ACF；
（Ⅲ）求面ADB₁与面ECB₁所成二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）取AE的中点M，连接B1M，证明B1M⊥面AECD，从而可求四棱B1-AECD的体积；
（Ⅱ）证明B1E∥面ACF，利用线面平行的判定定理，证明FO∥B1E即可；
（Ⅲ）连接MD，分别以ME，MD，MB1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面ECB1与面ADB1的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值．
（Ⅰ）【解析】
取AE的中点M，连接B1M，因为，E是BC的中点，
所以△ABE为等边三角形，所以，
又因为面B1AE⊥面AECD，所以B1M⊥面AECD，…（2分）
所以…（4分）
（Ⅱ）证明：连接ED交AC于O，连接OF，因为AECD为菱形，OE=OD，
又F为B1D的中点，所以FO∥B1E，
因为FO⊂面ACF
所以B1E∥面ACF…（7分）
（Ⅲ）【解析】
连接MD，分别以ME，MD，MB1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
则…（9分）
设面ECB1的法向量，则，
令x'=1，则
设面ADB1的法向量为，则，
令x=1，则…（11分）
则，
所以二面角的余弦值为…（12分）