Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为平行四边形，且AD=2，AB=AA₁=3，∠BAD=60°，E为AB的中点．
（Ⅰ）证明：AC₁∥平面EB₁C；
（Ⅱ）求直线ED₁与平面EB₁C所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）连接BC1，EF，利用三角形的中位线及线面平行的判定定理即可证明；
（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系，先求出平面EB1C的法向量，求出向量与的夹角，即可得出线面角的正弦值．
解（Ⅰ） 证明：连接BC1，B1C∩BC1=F，连接EF．
∵AE=EB，FB=FC1，∴EF∥AC1
∵AC1⊄面EB1C，EF⊂面EB1C
∴AC1∥面EB1C．
（Ⅱ）作DH⊥AB，分别令DH，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图，
∵∠BAD=60°，AD=2，
∴AH=1，，
∴，D1（0，0，3），C（0，3，0），，
，，，
设面EB1C的法向量为，
则 ，，
化简得，令y=1，则，
设，则
设直线ED1与面EB1C所成角为α，则sinα=|cosθ|=．
所以直线ED1与面EB1C所成角的正弦值为．