Question

函数f（x）为奇函数，且在[-1，1]上为增函数，f（-1）=-1，若f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]都成立，求t的取值范围．

Answer

由f（x）的奇偶性、单调性可求得f（x）在[-1，1]上的最大值f（1）．f（x）≤t2-2at+1对所有x∈[-1，1]都成立，等价于t2-2at+1≥f（x）max=f（1），
t2-2at+1≥f（x）max=f（1）对任意a∈[-1，1]都成立，看成关于a的一次函数≥0对a∈[-1，1]上恒成立，借助图象可得不等式组，解出即可．
【解析】
∵函数f（x）为奇函数，且在[-1，1]上为增函数，f（-1）=-1，
∴f（1）=1，∴f（x）在[-1，1]上的最大值为f（1）．
若f（x）≤t2-2at+1对所有x∈[-1，1]都成立，则，
令ϕ（a）=t2-2at=（-2t）a+t2，则ϕ（a）≥0对a∈[-1，1]上恒成立，∴ϕ（1）≥0，
且ϕ（-1）≥0，解得t≤-2或t=0或t≥2，
故t的范围为：（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．