Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点M、N分别为线段A₁B、A₁C₁的中点，平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁
（1）求证：MN∥平面BCC₁B₁；
（2）证明：BC⊥平面AA₁B₁B．

Answer

（1）连BC1，在△A1BC1中利用中位线定理，证出得MN∥BC1，结合线面平行的判定定理可得MN∥平面BCC1B1；
（2）根据直三棱柱的性质，可得面A1B1BA⊥面ABC．取平面AA1B1B内一点P，作PR⊥AB于R，PQ⊥A1B于Q，利用面面垂直的性质定理，可证出PR⊥BC且PQ⊥BC，结合线面垂直判定定理可得BC⊥平面AA1B1B．
【解析】
（1）连BC1，在△A1BC1中，M、N分别为线段A1B、A1C1的中点，
∴MN是△A1BC1的中位线，可得MN∥BC1，
∵BC1⊂平面BB1CC1，MN⊄平面BB1CC1，
∴MN∥平面BCC1B1
（2）∵ABC-A1B1C1为直三棱柱，
∴BB1⊥面ABC，结合BB1⊂面A1B1BA，可得面A1B1BA⊥面ABC
取平面AA1B1B内一点P，作PR⊥AB于R，PQ⊥A1B于Q．
∵PR⊂面ABB1A1，平面A1BC⊥面A1ABB1且平面A1BC∩面A1ABB1=AB
∴PR⊥面ABC，结合BC⊂平面ABC，可得PR⊥BC
再由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，同理可得：PQ⊥BC
∵PR、PQ是平面AA1B1B内的相交直线，
∴BC⊥平面AA1B1B．