Question

过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x²+y²=a²的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若T为线段FP的中点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．x±y=0
B．2x±y=0
C．4x±y=0
D．x±2y=0

Answer

由过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，知OT=a，设双曲线的右焦点为F′，由T为线段FP的中点，知|PF′|=2a，|PF|=2b，由双曲线的定义知：2b-2a=2a，由此能求出双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程．
【解析】
∵过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，
∴OT=a，
设双曲线的右焦点为F′，
∵T为线段FP的中点，
∴|PF′|=2a，|PF|=2b，
由双曲线的定义知：2b-2a=2a，
∴b=2a．
∴双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx±ay=0，
即2ax±ay=0，
∴2x±y=0．
故选B．