Question

已知抛物线 x²=4y的焦点是椭圆 C：一个顶点，椭圆C的离心率为．另有一圆O圆心在坐标原点，半径为
（I）求椭圆C和圆O的方程；
（Ⅱ）已知过点P（0，）的直线l与椭圆C在第一象限内只有一个公共点，求直线l被圆O截得的弦长；
（Ⅲ）已知M（x，y）是圆O上任意一点，过M点作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个公共点，求证：l₁⊥l₂．

Answer

（I）确定抛物线焦点坐标，可得b的值，利用椭圆C的离心率为，另有一圆O圆心在坐标原点，半径为，即可求椭圆C和圆O的方程．
（Ⅱ）设l的方程为y=kx+，k＜0，由，得，由，推导出直线l方程为y=-x+，由此能求出直线l被圆O截得的弦长．
（Ⅲ）分类讨论，利用韦达定理，计算斜率的积为-1，即可证得结论．
（I）【解析】
由x2=4y可得抛物线焦点坐标为（0，1），∴b=1，
又∵e=，∴=，∵a2=b2+c2，∴a2=4，
∴=，
∴椭圆C的方程为+y2=1，圆O的方程为x2+y2=5．
（Ⅱ）∵过点P（0，）的直线l与椭圆C在第一象限内只有一个公共点，
∴直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+，k＜0
由，得，
即（1+4k2）x2+8kx+16=0，
则，
∴k2=1，又k＜0，k=-1，
∴直线l方程为y=-x+，
圆心O到直线l方程为y=-x+，
圆心O到直线l的距离d=，
∴直线l被圆O截得的弦长为=．
 （Ⅲ）证明：若点M的坐标为（2，1），（2，-1），（-2，-1），（-2，1），
则过这四点分别作满足条件的直线l1，l2，
若一条直线斜率为0，则另一条斜率不存在，则l1⊥l2
若直线l1，l2斜率都存在，则设过M与椭圆只有一个公共点的直线方程为y-y=k（x-x），
由，得x2+4[kx+（y-kx）]2=4，
即（1+4k2）x2+8k（y-kx）•x+4（y-kx）2-4=0，
则△=[8k（y-kx）]2-4（1+4k2）[4（y-kx）2-4]=0，
化简得（4-）k2+2xyk+1-=0，
∵，
∴（4-）k2+2xyk+=0，
设l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，
所以k1，k2满足（4-）k2+2xyk+=0，
∴k1•k2==-1，
∴l1⊥l2．