Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，点E，F分别是AB和PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）若CD=2PD=2AD=2，四棱锥P-ABCD外接球的表面积．

Answer

（1）取PD的中点G，连接FG，GA，由G、F分别是PD、PC的中点，知GF∥DC，GF=DC，由E是AB中点，AE=AB，矩形ABCD中，AB∥DC，AB=DC，知四边形AEFG是平行四边形，由此能够证明EF∥平面PDA．
（2）由底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，知AB⊥平面PAD，故四棱锥P-ABCD的 外接球即以DP，DA，DC为棱的长方体的外接球．由此能求出四棱锥P-ABCD外接球的表面积．
（1）证明：取PD的中点G，连接FG，GA，由G、F分别是PD、PC的中点，知GF是△PDC的中位线，
GF∥DC，GF=DC，
E是AB中点，AE=AB，
矩形ABCD中，AB∥DC，AB=DC，
∴GF∥AE，GF=AE…（3分）
∴四边形AEFG是平行四边形，EF∥AG，
EF在平面PDA外，AG在平面PDA内，
∴EF∥平面PDA．…（6分）
（2）【解析】
∵底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，
∴AB⊥AD，AB⊥PD，
∴AB⊥平面PAD，
∴四棱锥P-ABCD的 外接球即以DP，DA，DC为棱的长方体的外接球．
∴R=，
∴S=4πR2=6π．…（12分）