Question

相关部门对跳水运动员进行达标定级考核，有A、B两套动作，完成每套动作成绩在9.50分及以上的定为该套动作合格，完成A动作合格的才能进行B动作的考核，两套动作的完成过程相互独立，并规定：
①A、B两套动作均合格者定为一级运动员；
②仅A动作合格，而B动作不合格者定为二级运动员；
③A动作不合格的予定级．
根据以往训练的统计知，甲、乙、丙三名运动员完成A动作合格的概率分别为0.5，0.6，0.4；完成B动作合格的概率分别为0.6，0.5，0.75．
（I）求经过此次考核，甲、乙两名运动员中恰好有1人被定为一级运动员，有1人被定为二级运动员的概率；
（II）设甲、乙、丙三人完成A动作合格的人数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer

（Ⅰ）设甲、乙、丙三人完成A动作合格的不件分别为A1，A2，A3，完成B动作的事件分别为B1，B2，B3，事件C表示“经过此次考核，恰好有一人被定为一级运动员，有一人被定为二级运动员”，则P（C）=P[A1A2（+）]，由此能求出结果．
（Ⅱ）X的可能取值有0，1，2，3，分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），由此能求出X的分布列和数学期望．
【解析】
（Ⅰ）依题意，设甲、乙、丙三人完成A动作合格的不件分别为A1，A2，A3，
完成B动作的事件分别为B1，B2，B3，
事件C表示“经过此次考核，恰好有一人被定为一级运动员，有一人被定为二级运动员”，
则P（C）=P[A1A2（+）]=×0.6×（0.6×0.5+0.4×0.5）=0.15．
（Ⅱ）依题意，X的可能取值有0，1，2，3，
P（X=0）=P（）=0.5×0.4×0.6=0.12．
P（X=1）=P（）+P（）+P（）
=0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4=0.38．
P（X=2）=P（）+P（）+P（）
=0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4+0.5×0.6×0.4=0.38．
P（X=3）=P（A1A2A3）=0.5×0.6×0.4=0.12．
∴X的分布列为：

 p  0  1 2   3
 X  0.12 0.38   0.38 0.12 

∴EX=0×0.12+1×0.38+2×0.38+3×0.12=1.5．