Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于B、C两点，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E．
（I）证明：AD=AE；
（II）已知的值．

Answer

（I）由PA与圆O相切于点A，AB是弦，知∠PAB=∠C，由∠APD=∠CPE，知∠PAB+∠APD=∠C+∠CPE，由此能够证明AD=AE．
（II）由∠PAB=∠C=30°，∠APC=∠BPA，知△APC∽△BPA，故．由BC是圆O的直径，知∠BAC=90°，由此能求出的值．
（I）证明：PA与圆O相切于点A，AB是弦，
∴∠PAB=∠C，
又∵∠APD=∠CPE，
∴∠PAB+∠APD=∠C+∠CPE，
∵∠ADE=∠PAB+∠APD，
∠AED=∠C+∠CPE，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE．
（II）【解析】
由（I）知∠PAB=∠C=30°，
∵∠APC=∠BPA，
△APC∽△BPA，
∴．
∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．
在Rt△ABC中，C=30°，
，
∴．