Question

某地区举行环保知识大赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选用选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题直接进入决赛，答错3次者则被淘汰，已知选手甲连续两次答错的概率为（已知甲回答每个问题的正确率相同，且相互之间没有影响）
（I）求甲选手回答一个问题的正确率；
（II）求选手甲进入决赛的概率；
（III）设选手甲在初赛中的答题的个数为ξ，试求ξ的分布列，并求出ξ的数学期望．

Answer

（I）甲答对一个问题的正确率为P1由题意，，解方程求出正答率
（II）由题意进入决赛至少答对三道题，故进行决赛分为三类事件，答对三题入决赛，四题入决赛，五题入决赛，分别算出这三个事件的概率，求其和即可；
（III）ξ的取值为3，4，5，对应的事件分别是前三个题全部答对，前四个题答对了三个，其中第四题一定对，前五个题答对了三个，第五个一定答对，分别求出它们的概率，列出分布列，求出期望．
【解析】
（I）设甲答对一个问题的正确率为P1
由题意：
所以，甲答对一个问题的正确率为…（3分）
（II）甲答了3道题进入决赛的概率为
甲答了4道题进入决赛的概率为
甲答了5道题进入决赛的概率为
故选手甲进入决赛的概率为
所以，选手甲进入决赛的概率为．…（7分）
（III）ξ的取值为3，4，5，其中

所以，ξ的分布列为
其数学期望为