Question

已知一个四棱锥的三视图如图所示，其中Rt△PDA≌Rt△PBA，且PD=AD=2，E，F，G分别为PA、PD、CD的中点
（1）求证：PB∥平面EFG；
（2）求直线PA与平面EFG所成角的大小；
（3）在直线CD上是否存在一点Q，使二面角Q-EF-D的大小为60°？若存在，求出CQ的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）取AB中点M，由EF∥AD∥MG，知EFGM共面，由EM∥PB，能够证明PB∥平面EFG．
（2）以AD为x轴，AB为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PA与平面EFG所成角的大小．
（3）设Q（2，b，0），则，求出面EFQ的法向量=（0，1，b）．面EFD的法向量=（0，1，0），由二面角Q-EF-D的大小为60°，利用向量法能求出CQ的长．
（1）证明：取AB中点M，
∵EF∥AD∥MG，
∴EFGM共面，
∵EM∥PB，PB⊄面EFG，EM⊂面EFG，
∴PB∥平面EFG      …（4分）
（2）【解析】
如图，以AD为x轴，AB为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系，
∵PD=AD=2，E，F，G分别为PA、PD、CD的中点，
∴E（0，0，1），F（1，0，1），G（2，1，0），P（0，0，2）
∴=（1，0，0），，
设平面EFG的法向量为=（x，y，z），则，，
∴，解得=（0，1，1）．
设直线PA与平面EFG所成角为α，
∵=（0，0，2），
∴sinα=|cos＜，＞|=||=，∴α=45°．
故直线PA与平面EFG所成角的大小45°．
（3）【解析】
设Q（2，b，0），则，
设面EFQ的法向量为=（x，y，z），则，，
∴，解得=（0，1，b）．
∵面EFD的法向量=（0，1，0），且二面角Q-EF-D的大小为60°，
∴cos60°=，
解得b=．
故CQ=2-．