Question

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球恰有1个为黑球”为事件A；“从乙盒内取出的2个球都是黑球”为事件B，求在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；
（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer

（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．由事件C、D互斥，能求出取出的4个球中恰有1个红球的概率．
（Ⅱ）先求出P（A），再由P（AB）=P（D），由此利用条件概率公式P（B/A）=能求出在事件A发生的条件下，事件B发生的概率．
（Ⅲ）由题设知ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3，由此能求出ξ的分布列的数学期望．
【解析】
（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．由于事件C、D互斥，
则P（C）==，
P（D）==，
∴取出的4个球中恰有1个红球的概率为
P（C+D）=P（C）+P（D）=+=．
（Ⅱ）∵“从甲盒内取出的2个球恰有1个为黑球”为事件A，
∴P（A）==，
∵“从乙盒内取出的2个球都是黑球”为事件B，
∴P（AB）=P（D）=，
∴在事件A发生的条件下，事件B发生的概率P（B/A）===．
（Ⅲ）由题设知ξ可能的取值为0，1，2，3，
由（Ⅰ）、（Ⅱ）得P（ξ=0）==，
P（ξ=1）=，
P（ξ=3）==，
∴P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=，
∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望．…（12分）