Question

已知函数．
（I）求x为何值时，f（x）在[3，7]上取得最大值；
（II）设F（x）=aln（x-1）-f（x），若F（x）是单调递增函数，求a的取值范围．

Answer

（I）由函数，知f（x）的定义域为（2，+∞），且f（4）是f（x）的最小值，由此利用导数性质能求出当x=7时，f（x）取得在[3，7]上的最大值．
（II）由F（x）是单调递增函数，知f′（x）＞0恒成立，所以（a-1）x2+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立．再由分类讨论思想能求出a的取值范围．
【解析】
（I）∵函数，
∴f（x）的定义域为（2，+∞），且f（4）是f（x）的最小值，
又∵f′（x）=，
∴，解得t=3．
∴=，
∴当2＜x＜4时，f′（x）＜0；当x＞4时，f′（x）＞0．
∴f（x）在（2，4）上是减函数，在（4，+∞）上是增函数，
∴f（x）在[3，7]上的最大值在应在端点处取得．
∵f（3）-f（7）=（3ln5-ln1）-（3ln9-ln5）=（ln625-ln729）＜0，
∴f（3）＜（7），
故当x=7时，f（x）取得在[3，7]上的最大值．
（II）∵F（x）是单调递增函数，∴f′（x）＞0恒成立．
又∵=，
在f（x）的定义域（2，+∞）上，（x-1）（x2-4）＞0恒成立，
∴（a-1）x2+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立．
下面分类讨论（a-1）x2+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立时，a的解的情况：
当a-1＜0时，不可能有（a-1）x2+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立；
当a-1=0时，（a-1）x2+5x-4（a+1）=5x-5＞0在（2，+∞）恒成立；
当a-1＞0时，又有两种情况：
①52+16（a-1）（a+1）＜0；
②，且（a-1）x2+5×2-4（a+1）＞0．
由①得16a2+9＜0，无解；
由②得a＞-，∵a-1＞0，∴a＞1．
综上所述，当a≥1时，（a-1）x2+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立．
∴a的取值范围是[1，+∞）．