Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（Ⅰ）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（Ⅱ）若，求EC的长．

Answer

（Ⅰ）要证明AC是△BDE的外接圆的切线，故考虑取BD的中点O，只要证明OE⊥AC，结合∠C=90°，证明BC∥OE即可
（Ⅱ）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，由OA2=OE2+AE2，可求r，代入可得OA，2OE，Rt△AOE中，可求∠A，∠AOE，进而可求∠CBE=∠OBE，在BCE中，通过EC与BE的关系可求
证明：（Ⅰ）取BD的中点O，连接OE．
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，
∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．…（3分）
∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线．    …（5分）
（Ⅱ）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，OA2=OE2+AE2，即，
解得，…（7分）
∴OA=2OE，
∴∠A=30°，∠AOE=60°．
∴∠CBE=∠OBE=30°．
∴在Rt△BCE中，可得EC=．                 …（10分）