Question

甲、乙两人进行某种比赛，各局胜负相互独立，约定每局胜者得1分，负者得0分，无平局，比赛进行到有一人比对方多2分时结束，已知甲在每局中获胜的概率均为P（其中P＞）．赛完后两局比赛结束的概率为．
（I）求P；
（II）求赛完四局比赛结束且乙比甲多2分的概率．

Answer

设事件Ai表示“甲第i局获胜”，事件Bi表示“乙第i局获胜”，则P（Ai）=p，P（Bi）=1-p
（I）设“赛完两局比赛结束”为事件C，P（C）=P（A1•A2+B1•B2），利用相互独立事件的概率公式，结合赛完后两局比赛结束的概率为，建立方程，可求p；
（II）设“赛完四局比赛结束且乙比甲多2分”为事件D，则D=B1•A2•B3•B4+A1•B2•B3•B4，利用相互独立事件的概率公式，可得结论．
【解析】
设事件Ai表示“甲第i局获胜”，事件Bi表示“乙第i局获胜”，则P（Ai）=p，P（Bi）=1-p
（I）设“赛完两局比赛结束”为事件C，则C=A1•A2+B1•B2，则P（C）=
即P（A1•A2+B1•B2）=P（A1•A2）+P（B1•B2）=
所以p2+（1-p）2=，所以，解得p=或
因为p＞，所以p=； （6分）
（II）设“赛完四局比赛结束且乙比甲多2分”为事件D，
则D=B1•A2•B3•B4+A1•B2•B3•B4，
∴P（D）=P（B1•A2•B3•B4+A1•B2•B3•B4）=+=  （12分）