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已知直线(2lna)x+by+1=0与曲线x2+y2-2x+2y+1=0交于A、...

已知直线(2lna)x+by+1=0与曲线x2+y2-2x+2y+1=0交于A、B两点,当|AB|=2时,点P(a,b)到直线2x-y+4=0距离的最小值等于   
由曲线(x-1)2+(y+1)2=1是圆心坐标为(1,-1),半径为1的圆,直线(2lna)x+by+1=0与曲线x2+y2-2x+2y+1=0交于A、B两点,|AB|=2,知直线(2lna)x+by+1=0过圆心(1,-1),故b=1+2lna.P(a,b)到直线2x-y+4=0距离d==,设f(a)=2a+3-2lna,利用导数能求出P(a,b)到直线2x-y+4=0距离最小值. 【解析】 ∵曲线x2+y2-2x+2y+1=0, ∴曲线(x-1)2+(y+1)2=1是圆心坐标为(1,-1),半径为1的圆, ∵直线(2lna)x+by+1=0与曲线x2+y2-2x+2y+1=0交于A、B两点,|AB|=2, ∴直线(2lna)x+by+1=0过圆心(1,-1), ∴2lna-b+1=0. ∴b=1+2lna, P(a,b)到直线2x-y+4=0距离 d==, 设f(a)=2a+3-2lna, f′(a)=2-, 令f′(a)=0,得a=1. ∴<a<1,f′(a)<0,f(a)递减,a>1,f′(a)>0,f(a)递增, ∴f(a)min=f(1)=5, ∴dmin==, ∴a=1时,P(a,b)到直线2x-y+4=0距离最小值为. 故答案为:.
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