Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，AB=2，点D₁是棱B₁C₁的中点．
（I）求证：A₁D₁⊥平面BB₁C₁C；
（II）求三棱锥C₁-A₁D₁C与多面体A₁B₁D₁CAB的体积的比值．

Answer

（Ⅰ）由题设条件推导出AA1⊥AB，AA1⊥AC，由此能够证明A1D1⊥平面BB1C1C．
（Ⅱ）由AB=2，AC=2，CC1=2，，，，分别求出和三棱锥C1-A1D1C的体积，由此能求出结果．
【解析】
（Ⅰ）∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A，ACC1A1均为正方形，
∠BAC=90°，AB=2，点D1是棱B1C1的中点，
∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，
∴AA1⊥平面ABC，
∴CC1⊥平面ABC，
∵A1D1⊂平面A1B1C1，D1是B1C1的中点，
∴A1D1⊥B1C1，
∵CC1∩B1C1，∴A1D1⊥平面BB1C1C．
（Ⅱ）∵AB=2，AC=2，CC1=2，，，，
∴=
==4．

=
==．
∴三棱锥C1-A1D1C与多面体A1B1D1CAB的体积的比值==．