Question

已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点（0，1），离心率为．
（I）求椭圆E的方程；
（II）若直线l过椭圆E的左焦点F，且与椭圆E交于A、B两点，若△OAB的面积为，求直线l的方程．

Answer

（I）设椭圆E的方程，利用椭圆E过点（0，1），离心率为，建立方程组，即可求椭圆E的方程；
（II）分类讨论，再将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及S△OAB=|OF||y1-y2|=|y1-y2|=，即可求直线l的方程．
【解析】
（I）设椭圆E的方程为，则
∵椭圆E过点（0，1），离心率为，
∴，∴a2=2，b2=1
∴椭圆E的方程为；
（II）（1）l⊥x轴时，A（-1，-），B（-1，），|AB|=
∴△OAB的面积为=，不满足题意；
（2）l与x轴不垂直时，设方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=
∴|y1-y2|==
∵S△OAB=|OF||y1-y2|=|y1-y2|=
∴|y1-y2|=
∴
∴k4+k2-2=0
∴k=±1
∴直线l的方程为x-y+1=0或x+y+1=0．