Question

设函数f（x）=（ax-1）e^x+2x+1，已知f（x）在x=0处取得极值．
（I）求a的值；
（II）证明：当．

Answer

（I）由f（x）=（ax-1）ex+2x+1，知f′（x）=（ax+a-1）ex+2，由f（x）在x=0处取得极值，能求出a．
（Ⅱ）由a=-1，知f（x）=-（x+1）ex+2x+1，由x≥0，知欲证，只需证ex≥x+1．由此能够证明当．
【解析】
（I）f（x）=（ax-1）ex+2x+1，
∴f′（x）=（ax+a-1）ex+2，
∵f（x）在x=0处取得极值，
∴f′（0）=a-1+2=0，
解得a=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=-1，
∴f（x）=-（x+1）ex+2x+1，
∵x≥0，
∴欲证，只需证ex≥x+1．
令g（x）=ex-x-1，
则g′（x）=ex-1，
令g′（x）=0，解得x=0．
当x∈（0，+∞）时，g′（x）=ex-1，
令g′（x）=0，解得x=0．
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增，
因此g（x）min=g（0）=0，即g（0）≥0，
从而ex≥x+1，
∴当x≥0时，f（x）≤ex（x+1）成立．
故当．