Question

选修4-5：不等式选讲
已知f（x）=|x-2|．
（I）解不等式：xf（x）+3＞0；
（II）对任意x∈（-3，3），不等式f（x）＜m-|x|成立，求m的取值范围．

Answer

（I）由f（x）=|x-2|，知xf（x）+3＞0，x|x-2|+3＞0，由此进行分类讨论，能求出xf（x）+3＞0的解集．
（II）由不等式f（x）＜m-|x|，知y=|x-2|+|x|=，作出函数y=|x-2|+|x|的图象，能推导出对任意x∈（-3，3），不等式f（x）＜m-|x|成立时，m的取值范围．
【解析】
（I）∵f（x）=|x-2|，xf（x）+3＞0，
∴x|x-2|+3＞0，
当x≥2时，不等式为x2-2x+3＞0，
即（x-1）2+2＞0，
此不等式恒成立，故x≥2．
当x＜2时，不等式为-x2+2x+3＞0，解得-1＜x＜3，
故-1＜x＜2．
∴不等式：xf（x）+3＞0的解集为{x|x＞-1}．
（II）不等式f（x）＜m-|x|为|x-2|+|x|＜m，
∵y=|x-2|+|x|=，
∴y=．
作出函数y=|x-2|+|x|的图象如图：
当-3＜x＜3时，2≤|x-2|+|x|＜8，
∴对任意x∈（-3，3），不等式f（x）＜m-|x|成立时，m的取值范围是{m|m≥8}．