Question

设函数f（x）=（x-a）e^x+（a-1）x+a，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）（i）设g（x）是f（x）的导函数，证明：当a＞2时，在（0，+∞）上恰有一个x使得g（x）=0；
（ii）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立．注：e为自然对数的底数．

Answer

（1）求导函数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（2）（i）确定函数g（x）在（0，a-2）上递减；在（a-2，+∞）上递增，即可证得结论；
（ⅱ）先确定a＞2，设f（x）在[0，2]上最大值为M，则M=max{f（0），f（2）}，由此可求实数a的取值范围．
（1）【解析】
当a=1时，f（x）=（x-1）ex+1，f'（x）=xex--------------------------------------（2分）
当f'（x）＜0时，x＜0；当f'（x）＞0时，x＞0
所以函数f（x）的减区间是（-∞，0）；增区间是（0，+∞）-------------------------（4分）
（2）证明：（ⅰ）g（x）=f'（x）=ex（x-a+1）+（a-1），g'（x）=ex（x-a+2）------------------（5分）
当g'（x）＜0时，x＜a-2；当g'（x）＞0时，x＞a-2
因为a＞2，所以函数g（x）在（0，a-2）上递减；在（a-2，+∞）上递增-----------------（7分）
又因为g（0）=0，g（a）=ea+a-1＞0，
所以在（0，+∞）上恰有一个x使得g（x）=0．--------------------------------------------------（9分）
（ⅱ）【解析】
若a≤2，可得在x∈[0，2]时，g（x）≥0，从而f（x）在[0，2]内单调递增，而f（0）=0，
∴f（x）≥f（0）=0，不符题意．-------------------------------------------------（10分）
∴a＞2
由（ⅰ）知f（x）在（0，x）递减，（x，+∞）递增，
设f（x）在[0，2]上最大值为M，则M=max{f（0），f（2）}，
若对任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立，则，------------------------------------（13分）
由f（2）≤0得（2-a）e2+2a-2+a≤0，∴，
又f（0）=0，∴．---------------------------------------------------------（15分）