Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=，BC=2，∠BAC=45°，D是AC₁的中点，E是侧棱BB₁上的一个动点．
（1）当E是BB₁的中点时，证明：DE∥平面A₁B₁C₁；
（2）在棱BB₁上是否存在点E满足=λ，使二面角E-AC₁-C是直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）取A1C1中点F，连接DF，DE，B1F，利用三角形中位线的性质，可得线线平行，利用线面平行的判定，可得DE∥平面A1B1C1；
（2）建立直角坐标系，求出平面A1ACC1的法向量、平面AC1E的法向量，利用数量积为0建立方程，即可求得结论．
（1）证明：取A1C1中点F，连接DF，DE，B1F
∵D是AC1的中点，E是BB1的中点．
∴DF∥AA1，B1E∥AA1，DF=AA1，B1E=AA1，
∴DF∥B1E，DF=B1E，所以DE∥B1F，DE=B1F…（2分）
又B1F⊂平面A1B1C1，所以DE∥平面A1B1C1…（4分）
（2）【解析】
分别在两底面内作BO⊥AC于O，B1O1⊥A1C1于O1，连接OO1，则OO1∥AA1，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立直角坐标系，
设AA1=t，BE=h，则λ=，A（0，-1，0），C1（0，，t），E（（1，0，h）．
平面A1ACC1的法向量为=（1，0，0）…（7分）
设平面AC1E的法向量为=（x，y，z）
∵=（1，1，h），=（0，，h）
∴由可得…（9分）
取z=1得y=，x=
∴…（11分）
由题知，∴=0
∴，∴λ==
所以在BB1上存在点E，当时，二面角E-AC1-C是直二面角．…（12分）