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设数列{an}的前n项和为Sn,对任意的正整数n,都有an=5Sn+1成立,记....

设数列{an}的前n项和为Sn,对任意的正整数n,都有an=5Sn+1成立,记manfen5.com 满分网
(I)求数列{bn}的通项公式;
(II)记cn=b2n-b2n-1(n∈N*),设数列{cn}的前n项和为Tn,求证:对任意正整数n都有manfen5.com 满分网

(III)设数列{bn}的前n项和为Rn.已知正实数λ满足:对任意正整数nRn≤λn恒成立,求λ的最小值.
(Ⅰ)由题设条件能导出an+1-an=5an+1,即,所以,∴. (Ⅱ)由,知=,当n=1时,;当n≥2时, . (Ⅲ)由知Rn=b1+b2+…+b2k+1==>4n-1.由此入手能推导出正实数λ的最小值为4. 【解析】 (Ⅰ)当n=1时,a1=5a1+1,∴ 又∵an=5an+1,an+1=5an+1+1 ∴an+1-an=5an+1,即 ∴数列an成等比数列,其首项,公比是 ∴ ∴ (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ∴ = 又,∴ 当n=1时, 当n≥2时, = ,故所证结论成立 (Ⅲ)由(Ⅰ)知 一方面,已知Rn≤λn恒成立,取n为大于1的奇数时,设n=2k+1(k∈N+) 则Rn=b1+b2+…+b2k+1 = = >4n-1 ∴λn≥Rn>4n-1,即(λ-4)n>-1对一切大于1的奇数n恒成立 ∴λ≥4否则,(λ-4)n>-1只对满足的正奇数n成立,矛盾. 另一方面,当λ=4时,对一切的正整数n都有Rn≤4n 事实上,对任意的正整数k,有 = = ∴当n为偶数时,设n=2m(m∈N+) 则Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2n-1+b2n) <8m=4nw、w、w、k、s、5、u、c、o、m 当n为奇数时,设n=2m-1(m∈N+) 则Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2n-3+b2n-2)+b2n-1 <8(m-1)+4=8m-4=4n ∴对一切的正整数n,都有Rn≤4n 综上所述,正实数λ的最小值为4
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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