Question

设二次函数f（x）=ax²-4x+c的值域为[0，+∞），则的最小值为    ．

Answer

先由二次函数的性质得出a、c满足的关系式，再利用换元法得到关系一个字母的式子，通过求导即可求出其最小值．
【解析】
∵二次函数f（x）=ax2-4x+c的值域为[0，+∞），∴，解得a＞0，c＞0，ac=4．
∴，代入u得u==．
令a2=t＞0，u=v（t）=，
∴v′（t）=+=，
令v′（t）=0，（t＞0），解得t=8．
当0＜t＜8时，v′（t）＜0，函数v（t）单调递减；当t＞8时，v′（t）＞0，函数v（t）单调递增．
故当t=8时，函数v（t）取得最小值v（8）==．
∴则的最小值为．
故答案为．