Question

如图，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，AF⊥BF，O为AB的中点，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF．
（Ⅲ）求三棱锥C-BEF的体积．

Answer

（Ⅰ）欲证AF⊥平面CBF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AF与平面CBF内两相交直线垂直，而AF⊥CB，AF⊥BF，BF∩BC=B，满足定理条件；
（Ⅱ）欲证OM∥平面DAF，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证OM/与平面DAF内一直线平行，设DF的中点为N，OM∥AN又AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF，满足定理条件．
（III）先计算底面三角形BEF的面积，在等腰梯形ABEF中，可得此三角形的高为，底EF为1，再计算三棱锥C-BEF的高，即为CB，最后由三棱锥体积计算公式计算即可
（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB
∴CB⊥平面ABEF，∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB
又AF⊥BF，且BF∩BC=B，BF、BC⊂平面CBF
∴AF⊥平面CBF
（Ⅱ）【解析】
设DF的中点为N，则MNCD，又AOCD，则MNAO，
∴MNAO为平行四边形
∴OM∥AN
又AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF
∴OM∥平面DAF
（III）∵AF=1，AF⊥BF，AB=2
∴∠FAB=60°
过点E作EH⊥AB于H，则∠EBH=60°，
∴EH=，EF=AB-2HB=1，
故S△BEF=×1×=
∵CB⊥平面ABEF
∴三棱锥C-BEF的高为CB=1
∴VC-BEF=×S△BEF×BC=××1=