Question

已知等差数列{a_n}满足：a_n+1＞a_n（n∈N^*），a₁=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b_n}的前三项．
（Ⅰ）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n，b_n；
（Ⅱ）设，若恒成立，求c的最小值．

Answer

（Ⅰ）设d、q分别为数列{an}、数列{bn}的公差与公比，a1=1．由题可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列{bn}的前三项，从而可得（2+d）2=2（4+2d），根据an+1＞an，可确定公差的值，从而可求数列{an}的通项，进而可得公比q，故可求{bn}的通项公式
（Ⅱ）表示出，利用错位相减法求和，进而问题可转化为恒成立，利用在N*是单调递增的，即可求得c的最小值．
【解析】
（Ⅰ）设d、q分别为数列{an}、数列{bn}的公差与公比，a1=1．
由题可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列{bn}的前三项，
∴（2+d）2=2（4+2d）⇒d=±2．
∵an+1＞an，
∴d＞0．
∴d=2，
∴an=2n-1（n∈N*）．
由此可得b1=2，b2=4，q=2，
∴bn=2n（n∈N*）．
（Ⅱ），①
∴．②
①-②，得．
∴．
∴．
∵在N*是单调递增的，
∴．
∴
∴满足条件恒成立的最小整数值为c=3．