Question

已知函数f（x）=xe^-x+（x-2）e^x-a（e≈2.73）．
（Ⅰ）当a=2时，证明函数f（x）在R上是增函数；
（Ⅱ）若a＞2时，当x≥1时，f（x）≥恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）只需证明当a=2时f′（x）≥0恒成立即可；
（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≥恒成立，即（x-2）e2x-a-x2+3x-1≥0恒成立，设h（x）=（x-2）e2x-a-x2+3x-1（x≥1），从而转化为h（x）min≥0即可，利用导数可求得h（x）min，注意对a进行讨论；
【解析】
（Ⅰ）当a=2时，f（x）=xe-x+（x-2）ex-2，f（x）的定义域为R，
f′（x）=e-x-xe-x+ex-2+（x-2）ex-2=（x-1）（ex-2-e-x）=e-x（x-1）（ex-1-1）（ex-1+1）．
当x≥1时，x-1≥0，ex-1-1≥0，所以f′（x）≥0，
当x＜1时，x-1＜0，ex-1-1＜0，所以f′（x）≥0，
所以对任意实数x，f′（x）≥0，
所以f（x）在R上是增函数；  
（II）当x≥1时，f（x）≥恒成立，即（x-2）e2x-a-x2+3x-1≥0恒成立，
设h（x）=（x-2）e2x-a-x2+3x-1（x≥1），则h′（x）=（2x-3）（e2x-a-1），
令h′（x）=（2x-3）（e2x-a-1）=0，解得，，
（1）当1＜＜，即2＜a＜3时，

x （1，） （，） （，+∞）
h′（x） + - +
h（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增

所以要使结论成立，则h（1）=-e2-a+1≥0，h（）=-e3-a+≥0，即e2-a≤1，e3-a≤，
解得a≥2，a≥3-ln，所以3-ln≤a＜3；
（2）当=，即a=3时，h′（x）≥0恒成立，所以h（x）是增函数，又h（1）=-e-1+1＞0，
故结论成立；                              
（3）当，即a＞3时，

x （1，） （，） （，+∞）
h′（x） + - +
h（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增

所以要使结论成立，
则h（1）=-e2-a+1≥0，h（）=-+2a-3≥0，即e2-a≤1，a2-8a+12≤0，
解得a≥2，2≤a≤6，所以3＜a≤6；                              
综上所述，若a＞2，当x≥1时，f（x）≥恒成立，实数a的取值范围是3-ln≤a≤6．                                                    …（12分）