Question

（文） 已知函数f（x）=cos（x-），
（1）若f（a）=，求sin2α的值；
（2）设g（x）=f（x）•f（x+2π），求g（x）在区间[-，]上的最大值和最小值．

Answer

（1）由f（a）=cos（α-）=，化简可得 sinα+cosα=，平方可得 sin2α 的值．
（2）利用二倍角公式、两角和差的余弦公式化简 g（x）的解析式为 cos2x，再根据x的范围求得求g（x）
在区间[-，]上的最大值和最小值．
【解析】
（1）因为f（a）=cos（α-）=，化简可得 sinα+cosα=．…（3分）
平方得，1+sin2α=，…（5分）
所以，sin2α=．…（7分）
（2）因为 g（x）=f（x）•f（x+2π）=cos（x-）cos（x+）=（cosx+sinx）•（cosx-sinx）
=（cos2x-sin2x）=cos2x． …（11分）
当 x∈[-，]时，2x∈[-，]．…（12分）
所以，当2x=0，即 x=0时，g（x）取得最大值为；                             …（13分）
当2x=，即 x=时，g（x）取得最小值为-．…（14分）